Теория функций

  • 1 0
  • (Rated 5 Stars)
  •  19-3-2019
  •  109

Автор:А. Гурвиц, Р. Курант
Издателство:Наука
Страници:618
Корици:Твърди
Година:1968
Броя:1
ISBN: Тегло (гр.): Формат: 150 / 210 Състояние: Отлично
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика 8
Часть первая
Общие вопросы теории аналитических функций
Глава 1. Комплексные числа 11
§ 1. Понятие комплексного числа , ... . 11
§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел 14
$ 3. Сходимость числовых последовательностей. Сфера Римана 18
§ 4. Множества на комплексной плоскости 21
§ 5. Ряды с комплексными членами 23
§ 6. Функции комплексного переменного 27
§ 7. Равномерная сходимость 28
Глаза 2. Степенные ряды 31
§ 1. Область сходимости степенного ряда 31
§ 2. Формулы для радиуса сходимости 32
§ 3. Действия со степенными рядами 34
§ 4. Теорема единственности 37
§ 5. Обобщение полученных результатов 38
§ 6. Переразложение степенного ряда 39
§ 7. Производные степенного ряда 41
ÿ 8. Непосредственное продолжение степенного ряда 43
§ 9. Ряды Лорана 46
Глава 3. Понятие аналитической функции 50
§ 1. Моногенные системы степенных рядов 50
§ 2. Понятие аналитической функции 51
§ 3. Ветви аналитической функции 53
§ 4. Примеры 55
§ 5. Особые точки степенного ряда 58
§ 6. Основная теорема алгебры 62
$ 7. Особые точки однозначных аналитических функций 62
$ 8. Особые точки многочленов и рациональных функций
ÿ 9. Некоторые теоремы о регулярных функциях 68
§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах 69
Глава 4. Исследование основных элементарных функций 73
§ 1. Экспонента 73
§ 2. Тригонометрические функции 75
§ 3. Логарифм 77
§ 4. Степень с произвольным показателем 82
Глава 5. Интегрирование аналитических функций 85
§ I. Равномерная непрерывность и равномерная дифференцируемость
аналитических функций 85
§ 2. Интегрирование степенных рядов 87
§ 3. Интегрирование производной от регулярной функции 87
§ 4. Примеры 91
§ 5. Интегрирование регулярных функций 94
§ 6. Теорема Коши и ее видоизменения 97
§ 7. Следствия из теоремы Коши. Теорема Лорана 100
§ß. Вычеты 105
§ 9. Формулы для числа нулей и полюсов 108
Глава 6. Мероморфные функции 112
§ 1. Понятие мероморфной функции 112
§ 2. Мероморфные функции с конечным числом полюсов 113
§ 3. Теорема Миттаг-Леффлера 113
§ 4. Общий вид мероморфной функции с заданными полюсами 115
§ 5. Случай простых полюсов 116
§ 6. Примеры 118
§ 7. Метод Коши 120
§ 8. Примеры 122
§ 9. Целые функции с заданными нулями 125
§ 10. Представление мероморфных функций через целые 128
§ 11. Представление гамма-функции Эйлера в виде бесконечного произ¬ведения 129
§ 12. Представление гамма-функции интегралом 133
Глава 7. Обращение аналитических функций 138
§ 1. Обращение степенных рядов 138
§ 2. Примеры ИЗ
§ 3. Оценка радиуса сходимости ряда для обратной функции 146
Часть вторая Эллиптические функции
Глава 1. Двоякопериодические мероморфные функции 149
§ 1. Замечания из аналитической геометрии 149
§ 2. Множество периодов как группа 151
§ 3. Параллелограмм периодов 155
§ 4- Поле эллиптических функций 157
§ 5. Общие теоремы об эллиптических функциях 158
§ 6. Функция р (и) . . . . . 161
§ 7. Дифференциальное уравнение для функции р (и) 165
§ 8. Теорема сложения для функции jf> (и) 169
§ 9. Выражение произвольных эллиптических функций через функ¬цию р (и) ' 170
§ 10. Дальнейшие свойства эллиптических функций 174
§ 11. Функция С (и) 175
§ 12. Выражение эллиптических функций через функцию Í (и) 176
§ 13. Функция а (и) 179
§ 14. Выражение эллиптических функций через функцию о (и) 181
§ 15. Функции р (и), С (и), а (и) как функции от ш„ иѕ 183
Глава 2. Тета-функции ; 188
§ 1. Ряд Фурье для периодических целых функций . 188
§ 2. Обозначения 189
§ Функция б, (v) 190
<$ 4. Функции <¡¡ (и), а„ (и), а3 (и) 192
§ 5. Функции (г;), б3 (v), &0 (г») 193
tj 6. Сводка формул 195
$ 7. Обобщение понятия тета-функции и зависимость тета-функций от т 197
§ 8. Связь функций (v) между собой. Нули тета-функций 199
§ 9. Выражение еи е.2, е3 через Ьк (0) 201
§ 10. Разложение тета-функций в бесконечное произведение 203
§11. Приложения к теории чисел 206
§ 12. Разложение функции С (и) как функции от г2 в ряд простейших
дробей и выражения для величин n¡, g2, gs 209
13. Разложение функции ]/p(u) — ek 211
Глава 3. Эллиптические функции Якоби 214
ÿ 1.-Определение функций sn и, сп и, dn и 214
§ 2. ФУНКЦИИ Якоби как эллиптические функции 217
§ 3. Дифференциальные уравнения для функций Якоби 218
§ 4. Теоремы сложения для функций Якоби 219
§ 5. Тригонометрические функции как предельный случай функций Якоби 220
Глава 4. Эллиптические модулярные функции 222
§ 1. Модулярная группа и ее фундаментальная область 222
§ 2. Модулярные функции и модулярные формы 228
§ 3. Решение уравнения J (т) — а 230
§ 4. Решение системы уравнений g., — a,g3 = b 233
§ 5. Решение уравнения х2 (т) = а 235
Глава 5. Алгебраические кривые и римановы поверхности, связан¬ные с эллиптическими функциями 236
§ 1. Алгебраические кривые и униформизация 236
§ 2. Алгебраическая кривая w2 = О, (z) 237
§ 3. Алгебраическая кривая иг = ű4 (г) 233
§ 4. Алгебраическая кривая Лежандра 239
§ 5. Топологическая природа эллиптической алгебраической кривой . . . 240 $ 6. Двулистная форма римановой поверхности 242
Глава 6. Эллиптические интегралы 247
§ 1. Определение и постановка задач 247
§ 2. Приведение эллиптических интегралов к простейшим 248
§ 3. Интегралы по замкнутым кривым на римановой поверхности .... 252 § 4. Периоды нормальных эллиптических интегралов 256
Глава 7. Преобразование эллиптических функций 259
§ 1. Преобразование первого порядка функций Вейерштрасса 259
§ 2. Преобразование первого порядка тета-функций 260
§ 3. Преобразование второго порядка 264
§ 4. Формулы связи между функциями Вейерштрасса и Якоби 267
§ 5. Преобразование Ландена 268
§ 6. Среднее арифметико-геометрическое 271
Часть третья
Геометрические идеи теории аналитических функций
Нведение 274
Глава 1. Предварительные сведения 275
$ I. Комплексные числа 275
§ 2. Кривые и области 279
§ 3. Криволинейные интегралы 283
§ 4. Дополнительные сведения из топологии 289
Глава 2. Регулярные функции и их свойства 292
§ 1. Условие дифференцируемости 292
§ 2. Обратная функция 296
§ 3. Интегрирование регулярных функций 299
§ 4. "Теорема Коши 300
§ 5. Теорема Коши для многосвязных областей и теорема о вычетах . . 305
§ 6. Элементарные функции 307
§ 7. Интегральная формула Коши . 311
§ 8. Конформное отображение 315
Глава 3. Следствия интегральной формулы Коши 318
§ 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах 318
§ 2. Ряды Тейлора и Лорана. Теорема единственности 321
§ 3. Некоторые приложения теоремы о вычетах 328
§ 4. Принцип максимума и лемма Шварца 336
§ 5. Некоторые оценки. Теорема Лиувилля 338
§ 6. Принцип компактности для регулярных функций 339
§ 7. Связь регулярных функций с гармоническими 342
§ 8. Интеграл Пуассона 344
§ 9. Следствия 348
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга 351
§ 11. Граничные значения интеграла типа Коши 353
§ 12. Течения жидкости 360
Глава 4. Аналитическое продолжение и римановы поверхности . . . 364
§ 1. Общие принципы аналитического продолжения 364
§ 2. Понятие аналитической функции. Особые точки 368
§ 3. Римановы поверхности . 377
§ 4. Алгебраические функции 385
§ 5. Принцип симметрии Римана—Шварца 392
Глава 5. Исследование некоторых элементарных функций 397
§ 1. Дробно-линейные функции 397
§ 2. Функции ï = zn (п~> 0 — целое число) и г = 406
§ 3. Функция £ = 409
§ 4. Логарифмическая и показательная функции 411
§ 5. Тригонометрические функции 412
§ 6. Степенная функция с произвольным показателем 414
§ 7. Течение жидкости в окрестности особых точек и критических точек
комплексного потенциала 416
§ 8. Круг как плоскость Лобачевского 421
Глава 6. Конформное отображение односвязных однолистных
областей 424
§ 1. Обсуждение теоремы Римана и вспомогательные теоремы 424
§ 2. Доказательство теоремы Римана 429
§ 3. Непрерывная зависимость отображающей функции от области . . . 432
§ 4. Единственность отображения 434
§ 5. Соответствие границ при конформном отображении 436
§ 6. Функция Грина и задача Дирихле 441
§ 7. «Знакопеременная метода» Шварца 446
§ 8. Теоремы искажения 450
Категория › Руски език

Допълнителни снмики

Все още няма коментари...

Info! За съжаление само регистрираните потребители могат да публикуват коментари.Моля, влезте или се регистрирайте.