Вариационные методы в математической физике

  • 1 0
  • (Rated 5 Stars)
  •  24-4-2019
  •  113

Автор:С. Г. Михлин
Издателство:ГИТТЛ - Ленинград
Страници:476
Корици:Твърди
Година:1957
Броя:1
ISBN: Тегло (гр.): Формат: 145 / 210 Състояние: Много добр
Вариационные методы в математической физике - Соломон Михлин

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга представляет результат существенной переработки книги автора, вышедшей в 1950 г. под названием „Прямые методы в математической физике“. Переработка в основном произведена в двух направлениях. Прежде всего, важнейший из вариационных методов — энергетический — изложен для основных задач математической физики на более элементарной математической базе, без привлечения теории операторов в гильбертовом пространстве. Более общая точка зрения, естественно возникающая на основе уже накопленного материала, дается только в главе VI. Автор надеется, что такая перестройка изложения сделает книгу доступной для более широкого круга читателей.

Другое изменение, которое кажется автору весьма важным, состоит в следующем. За последние несколько лет и у нас, и за границей появилось много работ, в которых изучается погрешность приближенного решения. Наличие этих работ позволяет изложить с необходимой для практики полнотой вопрос об оценке погрешности приближенного решения, даваемого энергетическим методом. Этому вопросу, который в книге „Прямые методы“ был только намечен, в настоящей книге отводится особая большая глава.

Кроме указанных выше коренных изменений, выполнен еще ряд довольно важных, хотя и не столь значительных переделок:

1) введена глава о постановке основных задач математической физики и о важнейших свойствах наиболее часто встречающихся операторов математической физики;
2) полнее рассмотрен вопрос о естественных краевых условиях;
3) значительно подробнее изложена теория собственных чисел, которой отведена особая глава;
4) количество численных примеров сокращено, но зато в большинстве оставленных примеров расчет доведен до оценки погрешности;
5) обоснование метода Бубнова—Галеркина проводится без использования теории бесконечных систем;
6) основной материал глав II („Вариационные принципы в математической физике“) и III („Методы решения вариационных проблем“) книги „Прямые методы“ объединен в главе IV настоящей книги;
7) с целью избежать значительного увеличения объема исключены некоторые параграфы книги „Прямые методы“.

Автор решил изменить название книги, так как почти вся она посвящена именно вариационным методам — энергетическому, наименьших квадратов, методу ортогональных проекций, методу Трефтца,. а также тесно связанному с энергетическим методу Бубнова—Галер-кина. Прямым методам, которые не принадлежат к числу вариационных, а именно конечноразностным, уделено совсем немного места: по отношению к методу сеток, хорошо освещенному в монографической литературе, автор ограничился перечислением основных результатов и литературными ссылками; что же касается „метода прямых“, то он изложен только применительно к уравнению Лапласа и к бигармо-ническому уравнению. В таком виде метод прямых изложен, насколько это известно автору, лишь в журнальных статьях, поэтому автор сохранил соответствующую главу, хотя она и стоит особняком от остальных глав.

Для понимания основного материала настоящей книги (главы I—V) от читателя требуется знакомство с двумя первыми томами „Курса высшей математики“ В. И. Смирнова, за исключением главы V т. II („Основы дифференциальной геометрии“). В отдельных местах понадобятся некоторые сведения из теории функций комплексной переменной и теории интегральных уравнений. В таких случаях в тексте будут сделаны ссылки на необходимую литературу. С целью упрощения весьма частых ссылок мы будем обозначать т. I и т. II курса В. И. Смирнова (изд. 1956 г.) как С1 и С2.

Автор обязан особой благодарностью К. Е. Чернину, превосходно выполнившему для настоящей книги ряд новых вычислений, и Г. П. Акилову, который прочитал всю книгу в рукописи и сделал много важных замечаний.

С. Михлин

Ноябрь 1956 г.

***
ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Задачи математической физики, а также теории упругости, гидродинамики и т. д. обычно сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных, реже — к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые надлежит интегрировать при соответствующих данной задаче начальных или краевых условиях. С прикладной точки зрения значительный интерес представляет вычисление численных, хотя бы и приближенных, значений искомых величин. Пожалуй, лучше всего для этой цели приспособлены так называемые прямые методы. Трудно дать определение, которое точно ограничивало бы эту группу методов. По определению С. Л. Соболева1) прямыми называются такие методы приближенного решения задач теории дифференциальных и интегральных уравнений, которые сводят эти задачи к конечным системам алгебраических уравнений. Из числа известных нам это определение является наиболее общим и полным; мы на нем и остановимся, хотя некоторые из методов, о которых будет идти речь ниже и которые мы считаем прямыми, трудно подвести под данное выше определение. Таков, например, метод Л. В. Канторовича (см. § 15). В теории и в практике применения прямых методов мы часто сталкиваемся с одним фактом, имеющим первостепенное значение. Заключается этот факт в том, что во многих случаях задачу интегрирования дифференциального уравнения можно заменить равносильной задачей об отыскании функции, сообщающей некоторому интегралу наименьшее значение. Задачи такого типа называются вариационными', таким образом, упомянутый выше факт заключается в том, что во многих случаях задачу интегрирования дифференциального уравнения можно заменить некотброй равносильной вариационной задачей. Так, например, при обычных краевых условиях можно свести интегрирование уравнений статической теории упругости к отысканию минимума потенциальной энергии упругого тела. Методы, позволяющие свести задачу об интегрировании дифференциального уравнения к равносильной вариационной задаче, носят общее название вариационных. Наиболее важный из вариационных методов 1) См. курс С. Л. Соболева [1], изд. 1-е, 1947.

2-Вариационные-методы-в-математической-физике


Категория › Руски език

Все още няма коментари...

Info! За съжаление само регистрираните потребители могат да публикуват коментари.Моля, влезте или се регистрирайте.